회귀직선 수식적 이해

1. 예시: 컴퓨터 가격지수 작성

컴퓨터처럼 기술 발전이 빠른 제품은 단순히 가격만 비교하면 실제 가격 하락을 제대로 측정할 수 없습니다. 예를 들어:

• 2000년 150만원 컴퓨터: CPU 500MHz, 메모리 128MB
• 2010년 150만원 컴퓨터: CPU 3GHz, 메모리 4GB

단순 비교하면 가격이 변하지 않았다고 잘못 결론 내릴 수 있습니다.

2. 데이터 수집 과정

• 지난 10년간 판매된 데스크탑 컴퓨터 정보 수집
• 각 컴퓨터의 스펙(x): CPU 속도, 메모리 용량 등
• 연도 정보(d₂,...,d₁₀): 첫 해 기준으로 2~10년차 연도 더미변수
• 판매가격(y): 각 컴퓨터의 실제 판매가격

3. 분석 방법 (어려운 식 부분 설명)

슬라이드의 분석 방법에서 나오는 식은 다음과 같습니다:

 

log(y)를 상수항, x, d₂,...,d₁₀에 중회귀분석하여 d₂,...,d₁₀의 계수 추정치인 b₂,...,b₁₀ 얻음

이 식을 단계별로 풀어보면:

1. log(y): 컴퓨터 가격에 로그를 취함 (퍼센트 변화를 측정하기 위함)
2. 중회귀분석:
    

   log(Pit) = α + β·Xit + b₂·d₂ + b₃·d₃ + ... + b₁₀·d₁₀ + εit

   여기서:
   • Pit: t년도에 판매된 i모델 컴퓨터의 가격
   • Xit: 컴퓨터 스펙(CPU, 메모리 등)
   • d₂d₁₀: 연도 더미변수(2년차10년차)
   • α: 상수항
   • β: 스펙이 가격에 미치는 영향
   • b₂~b₁₀: 각 연도의 가격 변화율(찾고자 하는 값!)
3. 계수의 의미:
   • b₂: 첫해와 비교해 2년차에 같은 스펙 컴퓨터 가격이 얼마나 변했는지(%)
   • b₃: 첫해와 비교해 3년차에 같은 스펙 컴퓨터 가격이 얼마나 변했는지(%)
   • ...

4. 물가지수 계산

첫 해의 가격지수를 100으로 설정한 후:

• 2년차 가격지수 = 100 × exp(b₂)
• 3년차 가격지수 = 100 × exp(b₃)
• ...
• 10년차 가격지수 = 100 × exp(b₁₀)

exp(b)의 의미: e^b, 즉 자연상수(약 2.718)의 b제곱입니다. 이는 로그를 취했던 것을 다시 원래 단위로 변환하는 과정입니다.