15강 표본평균을 이용한 모평균의 구간추정

1. 모평균이나 모분산을 추정하기 위한 방법

어떤 특정한 불확실한 현상에 관해 무엇인가를 알고 싶을 경우, 대부분은 그 모집단의 모평균이나 모분산(또는 모표준편차도 같다)을 알면 알 수 있는 경우가 많다. 이것을 제1부에서 설명한 예를 들어 다시 생각 해보기로 하자. 그 예가 온도계 예시다. 온도계로 측정한 값은 오차가 있기 때문에 단일 측정값만으로 실제 온도를 정확히 알기 어렵다. 하지만 측정값들이 실제 온도를 평균으로 하고 정규분포를 따른다면, 여러 측정값의 평균(모평균)을 실제 온도로 간주할 수 있다. 즉, 여러 번 측정한 값의 평균을 사용하면 실제 온도에 더 가까운 값을 추정할 수 있다. 우리는 현실의 계측값에서 실제 온도를 추정하기 위해서 정규모집단의 모평균을 추정하면 된다. 

즉 어떤 특정의 불확실한 현상의 본질을 알고 싶을 경우, 정규모집단의 모평균 또는 모표준편차를 추정함으로써 그것을 대신할 수 있다는 것을 알 수 있다. 오늘은 '모분산을 알고 있는 정규모집단'에 대해서 그 모평균을 구간추정 하는 방법을 설명하겠다. 

가장 이상적인 추정은 '모집단의 분포만 모를 때의 추정'이다. 이것은 불가능하지 않지만 원리적으로 무리다. 아무런 정보가 없기 때문이다. 방법이 없는 건 아니다. 대량으로 데이터를 모으면 모집단이 어떤 분포고, 그 표본 평균은 정규분포에 가까워진다는 성질을 이용하는 방법이다. 이것을 '대표본 추정'이라고 부른다. 분포에 대한 지식을 가정하지 않는 '비모수적'이라는 방법을 이용한다. 정규모집단은 알지만 모평균과 모분산을 모를 때의 추정이 가장 실용적이지만 이것은 마지막에

우리가 오늘 집중 할 것은 정규모집단을 알고, 모분산도 알고 잇을 때의 모평균 추정이다. 

2. 표본평균을 이용한 모평균의 구간추정

표본평균에서 모집단의 모평균을 추정하는 방법

예제 1

편의점에서 판매하는 삼각김밥을 자동으로 만드는 기계가 있다. 이 기계는 삼각김밥의 무게를 다양하게 조절할 수 있지만, 무게에는 오차가 발생한다. 완성된 삼각김밥 무게의 모든 데이터를 모집단이라고 할 때, 그것은 정규모집단이고, 모표준편차가 10그램이라는 것을 알고 있다. 여기에서 25개의 삼각김밥을 만들면 그 표본평균은 80그램이었다. 제조된 삼각김밥의 무게 모평균 95% 신뢰구간에서 구간추정을 하시오.

해설

이 모집단에서 25개의 데이터를 관측할 때, 그 표본평균 x̄의 분포는 모평균 μ를 평균값으로 하고, 모표준편차를 루트(25)로 나누면 2가 되는데 이것을 표준편차로 하여 정규분포 한다. 

-1.96 <=  (x̄ -  μ) / 2 <= +1.96을 만족할 때 x̄ 에 표본평균 80을 넣으면  

-1.96 <=  (80 -  μ) / 2 <= +1.96 이 나온다. 이 식을 계산하면 

76.08 <= μ <= 83.92 가 된다. 이것이 모평균  μ의 95% 신뢰구간이 된다.

이것을 공식으로 하면

x̄ -1.96*(σ/루트(n)) <= μ <= x̄ +1.96*(σ/루트(n))이 된다.